为圆率,则圆幂伤少;令圆为方率,则丸积伤多,互相通补,是以
九与十六之率偶与实相近,而丸犹伤多耳。观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,
而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。yù陋形措意,惧失正
理。敢不阙疑,以俟能言者。
黄金方寸,重十六两;金丸径寸,重九两,率生于此,未曾验也。《周官
考工记》:“氏为量,改煎金锡则不耗,不耗然后权之,权之然后准之,准之
然后量之。”言炼金使极精,而后分之则可以为率也。令丸径自乘,三而一,开
方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺为句,句自乘幂二十五尺。
倍之得五十尺,以为弦幂,谓平面方五尺之弦也。以此弦为股,亦以五尺为句,
并句股幂得七十五尺,是为大弦幂。开方除之,则大弦可知也。大弦则中立方之
长邪,邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂,三分之一也。今大弦还乘
其幂,即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽,令其幂七十五再自乘之,为面,命
得外立方积,四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘
之,得积一百二十五尺,一百二十五尺自乘,为面,命得积,一万五千六百二十
五尺之面。皆以六百二十五约之,外立方积,六百七十五尺之面,中立方积,二
十五尺之面也。
张衡算又谓立方为质,立圆为浑。衡言质之与中外之浑:六百七十五尺之面,
开方除之,不足一,谓外浑积二十六也;内浑,二十五之面,谓积五尺也。今徽
令质言中浑,浑又言质,则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之
率推以言浑之率也。衡又言:“质,六十四之面;浑,二十五之面。”质复言浑,
谓居质八分之五也。又云:方,八之面;圆,五之面。”圆浑相推,知其复以圆
为方率,浑为圆率也,失之远矣。衡说之自然yù协其yīn阳奇偶之说而不顾疏密
矣。虽有文辞,斯乱道破义,病也。置外质积二十六,以九乘之,十六而一,得
积十四尺八分尺之五,即质中之浑也。以分母乘全内子,得一百一十七。又置内
质积五,以分母乘之,得四十,是谓质居浑一百一十七分之四十,而浑率犹为伤
多也。假令方二尺,方四面,并得八尺也,谓之方周。其中令圆径与方等,亦二
尺也。圆半径以乘圆周之半,即圆幂也。半方以乘方周之半,即方幂也。然则方
周知,方幂之率也;圆周知,圆幂之率也。按:如衡术,方周率八之面,圆周率
五之面也。令方周六十四尺之面,圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘,得径四
尺之面,是为圆周率十之面,而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非,是故
更著此法,然增周太多,过其实矣。
淳风等按:祖之谓刘徽、张衡二人皆以圆为方率,丸为圆率,乃设新
法。祖之开立圆术曰:“以二乘积,开立方除之,即立圆径。其意何也?取
立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉;又合而衡规之,去其前
上之廉。于是立方之棋分而为四,规内棋一,谓之内棋;规外棋三,谓之外棋。
规更合四棋,复横断之。以句股言之,令余高为句,内棋断上方为股,本方之数,
其弦也。句股之法:以句幂减弦幂,则余为股幂。若令余高自乘,
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