数域 k 上的椭圆曲线，e(k)是 e 上的有理点的集合，已经知道 e(k)是有限生成交换群。记 l(s，e)是 e 的hasse-weil l函数。则e(k)的秩恰好等于l(e，s)在s=1处零点的阶，并且后者的taylor展开的第一个非零系数可以由曲线的代数性质精确表出。

    前半部分通常称为弱bsd猜想，后半部分则是bsd猜想分圆域的类数公式的推广。

    目前，数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱bsd猜想成立，对于rank2部分的强bsd猜想，依旧无能为力。

    此前庞学林也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线，尝试在rank=0和1的基础上，推出rank2的bsd猜想，却发现渐渐走进了死胡同。

    最近半年内，他始终没有任何进展。

    因此，他非常好奇，系统给出的证明过程，到底采用了什么思路。

    庞学林打开bsd猜想证明论文，看了起来。

    bsd猜想的证明一共有六十多页，对对一个千禧难题级别的猜想而言，显得过于精简了一些。

    不过这并不重要，当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时

    候，才用了三十多页，因为过程太过简略，好多人都看不懂，在数学界的强烈要求下，佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章，之后便再也不肯多给了。

    但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。

    因此，论文的长短并不重要，关键要看论文的质量。

    庞学林并没有从开头开始细读，而是先粗略浏览。

    粗略浏览，有助于他从整体上了解bsd猜想的证明思路。

    不过很快，庞学林的眉头便皱了起来。

    论文的开头，便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。

    论文的第一部分，写得是关于同余数问题的证明，即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。

    然后，推导出bsd对这样的ed成立：d是某个8k5型素数和若干8k1型素数的乘积，只要\bbb q(\sqrt{-d})的类群的4倍映射是单的。

    这就有意思了。

    虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明bsd猜想。

    但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。

    这篇论文的出现，说明当前流行的bsd猜想证明方法，最终都会走向死胡同。

    通过同余数问题证明bsd猜想，才是正确的思路。

    庞学林凝神屏气，继续看下去。

    给定素数，(1) \eiv 3(\od 8)：不是同余数但2 是同余数；(2) \eiv 5(\od 8)：是同余数；(3) \eiv 7(\od 8)：和2 都是同余数。

    (弱bsd猜想)bsd猜想对ed成立。特别的，rdgt0当且仅当l(1，ed)=0。

    假定弱bsd猜想成立，则(1)理论上我们能够判定d是否为同余数；(2)tunnell定理给出在有限步内决定d是否为同余数的算法；(3)可以证明d \eiv 5，6，7(\od 8)时rd为奇数，故这样的d均为同余数。

    根据heegner点的高度理论——著名的gross-zagier公式可以将其与l(1，e)联系起来。

    而基于eichler， shiura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的taniyaa–shiura猜想(模定理)，可以将l(s，e)解析延拓到整个复平面并且相应的rieann猜想成立。

    这一看，便不知时间流

『加入书签，方便阅读』