om，。    研究巴拿赫空间之前，我们有必要完全弄清楚巴拿赫空间、希尔伯特内积空间、赋范线性空间这三者之间的区别和联系。

    赋范线性空间是距离空间，希尔伯特内积空间必然是赋范线性空间，巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。这是三者间的基本关系。

    作为资深专家，具备大师水平的数学研究者，穆勒和沈奇同样需要依托最基础的理论去证明体系内的定理。

    内积空间的内积可以定义范数，而范数不定非要内积来定义。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例，而巴拿赫空间是完备距离空间的特例。

    所以，沈奇基于穆勒在1982年的条证明重新定义如下：

    “巴拿赫空间X的个非空子集C称为逼近紧的，是指对任意{xn}∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得

    ‖xn-y‖→dist（y，f{‖xn-y‖：x∈C}，

    那么{xn}∞n=1就存在个柯西列，称X是逼近紧的，且X的每个闭凸子集是逼近紧。”

    “思路逐渐清晰，沈奇你认为个巴拿赫空间X是逼近紧的当且仅当它具备drop性质。”穆勒教授再次检查沈奇设定的前提条件。

    巴拿赫空间综合了泛函分析、拓扑、空间几何等诸多分支，是个有难度的领域，不适合初学者接触。

    “没错。”沈奇和穆勒交流起来非常通畅，聪明人不废话，数学家不啰嗦。

    “需要我做什么？”穆勒教授问到，并没有摆出教授及导师的架子，他视沈奇为平等的学术合作伙伴，就如当年的哈代和拉马努金、高斯和黎曼、欧拉和拉格朗日、欧几里得和阿基米德。

    在学术上平等对待徒弟的师傅，往往能跟弟子同载入史册。酷爱消灭徒弟的毕达哥拉斯，他在数学史上的声望评价为负分。

    沈奇说到：“巴拿赫空间的RNP性质和鞅理论分析就拜托穆勒教授了，你是这方面的专家。”

    “OK，那我们还等什么？分头干活吧，争取个月之后合稿。”穆勒教授亲力亲为，这毕竟是他最先提出来的个定理，他要亲手完成这项跨越三十几个春秋、渗透复杂感情的课题。

    “OK。”沈奇收拾好资料，准备离开穆勒的办公室，去完成人生第个以自己姓氏命名的数学定理。

    “对了，明天你去带导修课，这是我的教案备份和学生信息，你熟悉下。”穆勒递给沈奇个又厚又重的件袋。

    “看来穆勒教授的百二十美元并不容易赚到。”沈奇笑了笑，接过件袋这便离开。

    晚上和第二天上午，沈奇开始编写“穆勒-沈定理”他负责的证明部分。

    沈奇坚持将自己的姓氏放在后面，以体现对导师的尊重。

    整个下午，沈奇仔细研究穆勒关于非欧几何的教案，这是他的工作的部分，他是穆勒的助教之。

    穆勒在这个学期负责普大数学系本科生的门课程，非欧几何。

    授课有两种形式，大课以及导修课。

    大课通常安排在能容纳百多名学生的大教室进行，主讲人是教授。

    前美国总统伍德罗-威尔逊在普大当校长时，新增了个“preceptorial”课程，即导修课，那时是1905年，这门课程直延续到今天。

    导修课实行小班制，通常由助教负责，个导修班有10-12名学生，最多不超过15名学生。

    在导修班上，助教带领本科生们复习最近周的学业，数学系的导修课大多由解题和讨论构成。

    普林斯顿非常重视本科生教育，本科生们上完大课还得上导修课，每门核心专业课程都设置导修课。

    普大本科生的学业繁重，门门功课拿到A，还能

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